Question

f(x)在定义域上存在原函数F(x)，那么F (x)不一定可导是吗？是因为F (x)有可能有第二类

f(x)在定义域上存在原函数F(x)，那么F (x)不一定可导是吗？是因为F (x)有可能有第二类间断点是吗？

Answer 1

不正确哦。
一定可导，存在原函数对应不定积分。
如果是f(x)有区间上界，且只有有限个间断点，那么定积分一定存在，我们设F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)不一定可导。

追答

那里是区间上有界

写错了，是设F(x)=f(x)的定积分

追问

存在原函数一定可积分，但是可积分不一定存在原函数对吧？

也就是说如果f(x)有第二类间断点且存在原函数，那这个原函数一定是连续的是吧？f(x)连续性与原函数没有必然关系是吗？

追答

震荡间断点可能有原函数。但是一定不可积，所以有原函数未必可积。
实际上，只要f(x)不连续，它的原函数存在与否与是否可积可以互不相关。
f(x)连续一定有原函数。有第一类间断点一定没有，第二类不一定，前面分析过了。

第一类间断点有限个且被积函数有界，一定可积但没有原函数。