Question

如图所示是二次函数y=-x 2 +4x图象上的一段，其中0≤x≤4、若矩形ABCD的两个顶点A，B落在x轴上，另外两个

如图所示是二次函数y=-x 2 +4x图象上的一段，其中0≤x≤4、若矩形ABCD的两个顶点A，B落在x轴上，另外两个顶点C，D落在函数图象上，则矩形ABCD的周长能否恰好为8？若能，请求出C，D两点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

假设周长恰好是8，设点A的横坐标为x， ∵y=-x 2 +4x， ∴顶点横坐标为- 4 2×(-1) =2， ∴点B的横坐标为2+（2-x）=4-x， ∴AB=4-x-x=4-2x； ∴D点纵坐标为-x 2 +4x， 即AD=-x 2 +4x； ∴AD+AB=-x 2 +4x+（4-2x）= 1 2 ×8， ∴x=0或2； ∴当x=0时，-x 2 +4x=0，D和C点纵坐标为0，构不成矩形． ∴当x=2时，-x 2 +4x=4，只有一个最高点存在，同样构不成矩形， 综合可知，与能构成矩形矛盾，故不存在．