Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并用单调性定义证明你的结论；（3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0 令y=-x，则f（x-x）=f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x） ∴f（x）是奇函数．（4分） （2）函数f（x）在[-1，1]上是增函数．（6分） 设x 1 ，x 2 ∈[-1，1]且x 1 ＜x则x 2 -x 1 ＞0 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）=-f（x 2 -x 1 ） 又∵x＞0，f（x）＞0∴f（x 2 -x 1 ）＞0 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）=-f（x 2 -x 1 ）＜0即f（x 1 ）＜f（x 2 ） 故由函数单调性定义可知，函数f（x）在[-1，1]上是增函数．（10分） （3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立． 则必须（1-2a）m+2＞1，?a∈[-1，1]恒成立； 即-2ma+m+1＞0，?a∈[-1，1]恒成立 令g（a）=-2ma+m+1必须 g(-1)＞0 g(1)＞0 即 -2m(-1)+m+1＞0 -2m+m+1＞0 解得- 1 3 ＜m＜1 故实数m的取值范围为- 1 3 ＜m＜1．（14分）