Question

对于一切x∈[-2，12]，不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立，求实数a的取值范围

对于一切x∈[-2，12]，不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

当x=0时，对于任意实数a不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立；
当0＜x≤

1

2

时，不等式ax³-x²+x+1≥0等价于a≥?

1

x3

?

1

x2

+

1

x

．
设t=

1

x

 （t≥2），则f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
当t≥2时，f′（t）＜0，∴f（t）=-t³-t²+t为减函数，∴f（t）_max=f（2）=-10，
∴a≥-10；
当-2≤x＜0时，不等式ax³-x²+x+1≥0等价于a≤?

1

x3

?

1

x2

+

1

x

．
设t=

1

x

 （t≤?

1

2

），则f（t）=-t³-t²+t，f′（t）=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1），
当t∈（-∞，-1）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，当t∈（-1，-

1

2

）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，
∴f（t）_min=f（-1）=-1．
∴a≤-1．
综上，对于一切x∈[-2，

1

2

]，使不等式ax³-x²+x+1≥0恒成立的实数a的取值范围是[-10，-1]．