Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ）求证AC1∥平面CDB1（Ⅱ

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ）求证AC1∥平面CDB1（Ⅱ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

Answer 1

解答：解：（I）证明：记BC₁与CB₁交于点O，连OD
∵OD是△ABC₁的中位线，∴OD∥AC₁     
∵AC₁?面CDB₁OD?面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁；
（II）由（I）知OD∥AC₁
∴∠COD为异面直线AC₁与B₁C所成的角，
∵在Rt△ACC₁中，AC=3，CC₁=4∴AC₁=5∴OD=

5

2

，
在正方形CBB₁C₁中，B₁C=4

2

，∴OC=2

2

，
∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，∴CD=

AB

2

=

5

2

，
在△COD中，cos∠COD=

(2 2 )2+( 5 2 )2?( 5 2 )2

2×2 2 × 5 2

=

2 2

5

．