Question

计算第二类曲面积分?Zxyzdydz+xydxdz+zx2dxdy，其中∑为球面x2+y2+z2=1的外侧

计算第二类曲面积分?Zxyzdydz+xydxdz+zx2dxdy，其中∑为球面x2+y2+z2=1的外侧．

Answer 1

外侧为十五分之四π。
积分发展的动力来自于实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长 × 宽 × 高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

Answer 2

由题意可知：

?

Z

xyzdydz+xydxdz+(zx2)dxdy
=

?

Ω

(yz+x+x2)dxdydz
=

?

Ω

(yz+x)dxdydz+

?

Ω

x2dxdydz
=0+

1

3

?

Ω

(x2+y2+z2)dxdydz
=

1

3

∫

2π 0

dθ

∫

π 0

dφ

∫

1 0

r4sinφdr
=

4

15

π