Question

如图，在RT三角形ABC中，角ACB=90度，AC=6cm，BC=8，动点P从点B出发，在BC边上

如图，在RT三角形ABC中，角ACB=90度，AC=6cm，BC=8，动点P从点B出发，在BC边上以每秒5cm的速度相电A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0小于t小于2），连接PQ
（1）若三角形BPQ与三角形ABC相似，求t的值
（2）连接AQ，CP，若AQ垂直CP，求t的值
（3）试证明：PQ的中点在三角形ABC的一条中位线上

Answer 1

（1）当t=1s时，CQ=1s×4 cm/ s=4 cm，

BQ=8 cm－4 cm=100px，

BP=1s×4cm/ s=125px，

BA=√（8²+6²）=10（cm）

∵BQ/BC=4/8=1/2，BP/BA=5/10=1/2

∴BQ/BC=BP/BA，△BPQ∽△BAC

∴当t=1s时，△BPQ∽△BAC。

（2）CP⊥AQ于K，则

∠CAQ=∠QCK，∠ACK=∠CQK，

∠CAQ+∠CQK =∠QCK+∠ACK=90°，

Rt⊿CKQ∽Rt⊿∠AKC∽Rt⊿ACQ，设

CK=h，QK= a，AK= b，则AQ= a+ b

CQ=4t，于是

CQ/AC= QK/CK

（a+b）²=36+16t² （1）

16t²=a（a+b） （2）

h²=ab （3）

4t/6=a/h   （4）

由作图与尝试—逐步逼近法求解上联立方程组

得，t=0.9，则

CQ=4×0.9=3.6，BP=5×0.9=4.5，

QK=1.852，AK=5.146，AQ=6.998，

CK=3.086，

CQ/AC=3.6/6=0.6，

QK/CK=1.852/3.086=0.6，

∴CQ/AC= QK/CK，符合要求。

∴t=0.9 s。

（3）试证明：PQ的中点在三角形ABC的一条

中位线上，

过PQ中点K作EF∥AC，分别交BC。BA于

E，F，

作PM∥AC交BC于M，作QN∥AC交BA于

N，作QG∥BA交AC于G ，

Rt⊿BMP∽Rt⊿BQN∽Rt⊿BCA，

Rt⊿BMP≌Rt⊿QCG，则

BM=CQ=4t，AN=BP=5t，

∵在梯形QNPM中EF是中位线，ME=QE，

PF=NF，

∴BE=BM+ME=CQ+QM=CE，BE=CE；

BF=BP+PF=AN+NF=AF，BF=AF，

EF是△ABC的中位线，K在EF上，

∴PQ的中点K在三角形ABC的一条中位线

上。

追答

谢谢