Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm ，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．

Answer 1

（1） ， （2）只有点P在DF边上运动时，△PDE才能成为等腰三角形，且PD=PE．（如图6） ∵ BF=t，PF=2t，DF＝8， ∴ ． 在Rt△PEF中， = ． 即 ． 解得 ． ∴ t为 时△PDE为等腰三角形． （3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，此时点P一定在DE边上，DP= DG． 由已知可得 ， ． ∴ ∴ ∴ ， ， ∵ ， ∴ ． 由DP=DG得 ． 解得 ． 　检验： ，此时点P在DE边上. ∴ t的值为 时，点P与点G重合． 　　　（4）当0＜t≤4时，点P在DF边上运动（如图6）， ． 当4< t≤6时，点P在DE边上运动（如图7），作PS⊥BC于S，则 ． 　　　　　 可得 ． 　　　　此时 ， ． ． ∴ 综上所述， （以上时间单位均为s，线段长度单位均为cm）

（1）当t=2，得到BF=2，PF=4，根据BF：BC=HF：AC，即可求出HF，从而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽Rt△BAC，可求出EG，得到DG； （2）根据题意得到PD=PE，则BF=t，PF=2t，DF=8，得到PD=DF-PF=8-2t．在Rt△PEF中，利用勾股定理得到4t 2 +36=（8-2t） 2 ，解得t= ． （3）设当△DEF和点P运动的时间是t时，点P与点G重合，此时点P一定在DE边上，DP=DG．根据正切的定义得到tanB=tanD= ，则FH= t，DH=8- t，得到DG=- t+ ，而DP+DF=2t，于是有2t-8=- t+ ，即可解得t的值； （4）分类讨论：当0＜t≤4时，点P在DF边上运动，tan∠PBF= =2；当4＜t≤6时，点P在DE边上运动，作PS⊥BC于S，PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．tan∠PBF= ．