Question

设函数 f(x)=x+ λ x ，常数λ＞0．（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证

设函数 f(x)=x+ λ x ，常数λ＞0．（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明；（2）若f（x）在区间[1，4]上的单调递增，求λ的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=x+ 1 x ，?x 1 ，x 2 ∈[1，4]且x 1 ＜x 2 f（x 1 ）-f（x 2 ）=（x 1 + 1 x 1 ）-（x 2 + 1 x 2 ）=（x 1 -x 2 ） x 1 x 2 -1 x 1 x 2 …（3分） ∵x 1 ，x 2 ∈[1，4]，x 1 ＜x 2 ∴x 1 -x 2 ＜0，x 1 x 2 ＞0，x 1 x 2 -1＞0 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0 ∴f（x）在区间[1，4]上的单调递增．…（6分） （2）?x 1 ，x 2 ∈[1，4]且x 1 ＜x 2 f（x 1 ）-f（x 2 ）=（x 1 + λ x 1 ）-（x 2 + λ x 2 ）=（x 1 -x 2 ） x 1 x 2 -λ x 1 x 2 …（8分） ∵f（x）在区间[1，4]上的单调递增 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0 ∵1≤x 1 ＜x 2 ≤4， ∴x 1 x 2 -λ＞0对?x 1 ，x 2 ∈[1，4]且x 1 ＜x 2 恒成立…（10分） 即λ＜x 1 x 2 ∴λ≤1 ∵λ＞0 ∴0＜λ≤1…（12分）