Question

已知函数f（x）=x+1x（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；（Ⅱ）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数

已知函数f（x）=x+1x（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；（Ⅱ）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；（Ⅲ）函数f（x）在（-1，0）上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

Answer 1

证明：（I）函数为奇函数f(?x)＝?x?

1

x

＝?(x+

1

x

)＝?f(x)
（II）设x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂f(x2)?f(x1)＝x2+

1

x2

?x1?

1

x1

＝(x2?x1)(1?

1

x1x2

)
=

(x2?x1)(x1x2?1)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∵x₂＞x₁∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁）
因此函数f（x）在（0，1）上是减函数
（III）f（x）在（-1，0）上是减函数．