Question

若函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值为23，求实数a的值

若函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值为23，求实数a的值．

Answer 1

设a^x=t，则y=f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2
其对称轴是t=1，若a＞1，x∈[-1，1]时，t∈[

1

a

，a]二次函数y=f（t）
在[

1

a

，a]上是增函数，从而y_max=f（a）=a²+2a-1
令a²+2a-1=23，得a=4（a=-6舍去）
若0＜a＜1，x∈[-1，1]时t∈[a，

1

a

]，y=f（t）在[a，

1

a

]上仍是增函数，
从而ymax＝f(

1

a

)＝

1

a2

+

2

a

?1＝23，解得a＝

1

4

或a＝?

1

6

(舍去)
综合得：a=4或a=

1

4