Question

已知函数f(x)＝px?px?2lnx．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）

已知函数f(x)＝px?px?2lnx．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．

Answer 1

（1）当p=2时，函数f(x)＝2x?

2

x

?2lnx，
f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)＝2+

2

x2

?

2

x

，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．

（2）f′(x)＝p+

p

x2

?

2

x

＝

px2?2x+p

x2

．
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝

1

p

∈(0，+∞)，
∴h(x)min＝p?

1

p

，只需p?

1

p

≥0，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．