Question

（2008?南通模拟）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=

（2008?南通模拟）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2（Ⅰ）求证：PA1⊥BC；（Ⅱ）求证：PB1∥平面AC1D．

Answer 1

证明：（1）连接PD交B₁C₁于H，
∵PB₁=PC₁，∴H为B₁C₁中点，
又∵D是BC的中点，∴PD∥CC₁，
∴A、A₁、P、D四点共面；
∵BC⊥AD，BC⊥AA₁，AD∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ADPA₁．
∵PA₁?平面ADPA₁．
∴BC⊥PA₁．
（2）连接BH，∵PH∥BB₁，且∵PH=BB₁，
∴四边形B₁PHB为平行四边形．
∴PB₁∥BH．而BH∥C₁D
∴PB₁∥DC₁．
又∵PB₁?平面AC₁D，C₁D?平面AC₁D．
∴PB₁∥平面AC₁D．