Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C，一条渐近线方程为x-2y=0，且双曲线经过点A（22，1）．（1）求

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C，一条渐近线方程为x-2y=0，且双曲线经过点A（22，1）．（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线C的两个焦点分别为F1，F2，过点P（0，t）作双曲线C切线，切点为M，若△F1MF2的面积为52，求实数t的值．

Answer 1

（1）∵双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，
∴可设双曲线C的方程x²-4y²=λ，
∵双曲线经过点A（2

2

，1），
∴8-4=λ，
∴λ=4，
∴双曲线C的方程为

x2

4

?y2＝1；
（2）双曲线C的两个焦点分别为F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），∴|F₁F₂|=2

5

．
设M（x，y），则∵△F₁MF₂的面积为

5

2

，
∴

1

2

?2

5

?|y|=

5

2

，
∴|y|=

1

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