Question

（2005?静安区一模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，BA?BD=BC?BE．（1）

（2005?静安区一模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，BA?BD=BC?BE．（1）求证：AE=AD；（2）如果点F在BD上，CF=CD，求证：BD2=BE?BF．

Answer 1

解答：证明：（1）∵BA?BD=BC?BE，
∴

BA

BC

=

BE

BD

，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴180°-∠CDF=180°-∠CFD，
即∠BDA=∠BFC，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△BDA∽△BFC，
∴

BA

BC

=

BD

BF

，
又∵

BA

BC

=

BE

BD

，
∴

BD

BF

=

BE

BD

，
∴BD²=BE?BF．