Question

已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+12x2-bx．（1）求实数a的值；

已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+12x2-bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥72，求g（x1）-g（x2）的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′（x）=1+

a

x

，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+

1

2

x2-（b-1）x，
∴g′（x）=

x2?(b?1)x+1

x

，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+

1

x

+1-b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+

1

x

≥2，
x+

1

x

＜b-1有解，
只需要x+

1

x

的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+

1

2

x2-（b-1）x，
∴g′（x）=

x2?(b?1)x+1

x

=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1
∴g（x₁）-g（x₂）=ln

x1

x2

-

1

2

（

x1

x2

-

x2

x1

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴设t=

x1

x2

，0＜t＜1，
令h（t）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），0＜t＜1，
则h′（t）=-

(t?1)2

2t2

＜0，
∴h（t）在（0，1）上单调递减，
又∵b≥

7

2

，∴（b-1）²≥

25

4

，
∵0＜t＜1，∴4t²-17t+4≥0，
∴0＜t

1

4

，h（t）≥h（

1

4

）=

15

8

-2ln2，
故所求的最小值为

15

8

-2ln2．