Question

在三角形ABC中,角ABC=90°,以AB为直径的圆交AC于点E,点D是BC边的中点,连接OD交圆O于点M

求证：DE乘以BC=DM乘以AC+DM乘以AB

Answer 1

证明：

延长DO交⊙O于N，连接BE。

∵AB是⊙O的直径

∴∠AEB=90°

则∠BEC=90°

∵D是BC的中点

∴DE=1/2BC=BD=CD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∵OA=OB

∴OD是△ABC的中位线

∴OD=1/2AC

∵∠ABC=90°

∴BD是⊙O的切线

∴BD^2=DM×DN（切割线定理）

∵DN=OD+ON=1/2AC+1/2AB

∴2DN=AC+AB

∴DM×（AC+AB）=2BD^2

∵BC=2BD，DE=BD

∴DE×BC=2BD^2

∴DE×BC=DM×（AC+AB）