Question

如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º

如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60º，求证：△AEF是等边三角形．

Answer 1

证明：（1）连接AC。 ∵菱形ABCD中，∠B=60°， ∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。 ∴△ABC是等边三角形。 ∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。 ∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。 ∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。 ∴EC=CF。∴BE=DF。 （2）连接AC。 ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。 ∴△ABC是等边三角形。 ∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。 ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。 ∴∠AEB=∠AFC。 在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC， AB=AC，   ∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。 ∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。

菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形， 又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。 （2）连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形。