Question

设函数f（x）满足f（ex）=x2-2ax+a2-1（a∈R），（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[1，e

设函数f（x）满足f（ex）=x2-2ax+a2-1（a∈R），（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）令e^x=t，则x=lnt，∴f（t）=ln²t-2alnt+a²-1，
把t换成x得f（x）=ln²x-2alnx+a²-1（a∈R，x＞0）．
（2）∵f（x）=（lnx-a）²-1，由x∈[1，e]，得lnx∈[0，1]，
∴当a≥1，或a≤0时，f（x）在[1，e]上具有单调性．
∵f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，
∴

a≥1，或a≤0 f(1)f(e)≤0

 解得-1≤a≤0，或1≤a≤2．
故a的取值范围是[-1，0]∪[1，2]．