Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E，且⊙O与直线

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E，且⊙O与直线BD刚好相切．（1）试证：∠CBD=∠A；（2）若cosA= 2 5 5 ，BD=2 5 ，试计算⊙O的面积．

Answer 1

（1）证明：连OD，如图， ∴∠A=∠ADO， ∵直线BD与⊙O相切， ∴OD⊥BD， ∴∠ODB=90°， ∴∠ADO+∠BDC=90°， 又∵∠C=90°， ∴∠CBD+∠CDB=90°， ∴∠CBD=∠ADO， ∴∠CBD=∠A； （2）连DE，cosA=cos∠CBD= 2 5 5 ， 在Rt△DCB，cosA= 2 5 5 ，BD=2 5 ， ∴cos∠CBD= BC DB ， ∴BC= 2 5 5 ×2 5 =4， ∴DC= BD 2 - BC 2 =2， ∵AE为直径， ∴∠ADE=90°， 在Rt△ABC中，设⊙O的半径为r， ∴cosA= AD AE = 2 5 5 ， ∴AD=2r? 2 5 5 = 4 5 5 r， ∴DE= 2 5 5 r， ∵DE ∥ BC， ∴DE：BC=AD：AC，即 2 5 5 r：4= 4 5 5 r：（ 4 5 5 r+2）， ∴r= 3 5 2 ， ∴⊙O的面积=π?（ 3 5 2 ） 2 = 45 4 π．