Question

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，且 g(x)= f / (x)+ f / ( 3 ) ．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若 f(x)＞ 3 2 x 2 -3x+ a 2 +a 在[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若数列{a n }满足a n+1 =g（a n ），a 1 =2，（n∈N * ），试证明： 1 a 1 + 1 a 2 +…+ 1 a n ＜ 7 8

Answer 1

（1）因为函数f（x）关于原点对称，所以b=d=0，所以f（x）=ax 3 +cx， 又有f′（x）=3ax 2 +c，又函数f（x）在x=3处的切线方程为8x-y-18=0， 所以f′（3）=3a×9+c=8，f（3）=27a+3c=6， 所以 a= 1 3 ，c=-1 即 f(x)= 1 3 x 3 -x ． （2） f(x)＞ 3 2 x 2 -3x+ a 2 +a 在[0，2]上恒成立，即 f(x)- 3 2 x 2 +3x＞ a 2 +a ， 即证 1 3 x 3 - 3 2 x 2 +2x＞ a 2 +a 在[0，2]上恒成立， 令 h(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2 +2x ，则h′（x）=x 2 -3x+2，令h′（x）=x 2 -3x+2=0， 则x 1 =1，x 2 =2 则有当x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）递增； 当1＜x＜3时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，3）递减； 当x＞3时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）递增； 所以 h(0)=0，h(2)= 2 3 ， 所以函数h（x）在[0，2]的最小值为0，所以有0＞a 2 +a，即-1＜a＜0 （3） g(x)= f / (x)+ f / ( 3 )= x 2 +1＞0 ，由a n+1 =g（a n ），a 1 =2， 所以a n+1 =a n 2 +1＞a n 2 ＞0， 所以lna n+1 ＞2lna n ＞2 2 lna n-1 ＞＞2 n-1 ln2， 所以 a n ＞ 2 2 n-1 ，则有 1 a n ＜ 1 2 2 n-1 ， 所以 1 a 1 + 1 a 2 ++ 1 a n ＜ 1 2 + 1 2 2 + 1 2 4 ++ 1 2 2 n-1 ＜ 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + 1 2 5 ++ 1 2 2 n-1 - 1 2 3 ＜ 1 2 [1- ( 1 2 ) 2 n-1 ] 1- 1 2 - 1 2 3 ＜1-( 1 2 ) 2 n-1 - 1 8 ＜ 7 8 （14分）