Question

将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个圆圈内．（Ⅰ）证明：一定存在三个相邻的数

将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个圆圈内．（Ⅰ）证明：一定存在三个相邻的数，它们的和不小于17；（Ⅱ）如果使任意三个相邻的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并请你给出相应的填图．

Answer 1

（1）证明：假设所有相邻的三个数，它们的和都小于17，则它们的和小于等于16．
∴这10个数的和的最大值小于等于：16×10÷3=

160

3

，
但是实际上，1+2+3+…+10=（1+10）×10÷2=55＞

160

3

，所以假设不成立，则命题得证，
∴将自然数1，2，3…10这10个数，任意地放在一个圆周上，其中一定有相邻的三个数，它们的和大于等于17．

（2）解：设满足已知条件的数依次为：a₁，a₂，a₃…a₁₀；
则：a₁+a₂+a₃M；
a₂+a₃+a₄≤M；
a₃+a₄+a₅≤M；
…
a₁₀+a₁+a₂≤M；
得：5（a₁+a₂+…+a₁₀）≤10M，
即 5×10×112≤10M，
解得：M≥27.5，
而M为整数，故M的最小值为28，将1，2，3，…10分成如下的两组：
10，7，6，3，2；
9，8，5，4，1
以此填入图中即可．