Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2，l)，平行于OM的直线l交椭圆于A，B

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2，l)，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点．(Ⅰ)求椭圆的方程： (Ⅱ)已知 e =(t，0)， 是否对任意的正实数t，λ，都有 e · p =0成立？请证明你的结论。

Answer 1

解：(Ⅰ)设椭圆方程为 ， 则 ，解得： ， ∴椭圆的方程为 。 (Ⅱ)若 成立， 则向量 与x轴垂直， 由菱形的几何性质知，∠AMB的平分线应与x轴垂直，为此只需考查直线MA，MB倾斜角是否互补即可。 由已知，设直线l的方程为：y= x+m， 由 ，∴ ， 设直线MA，MB的斜率分别为k 1 ，k 2 ，只需证明k 1 +k 2 =0即可， 设 ， 则 ， 由 可得， ， 而 ， ∴k 1 +k 2 =0，直线MA，MB的倾斜角互补。 故对任意的正实数t，λ，都有 成立。