Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b-2a）cosC+ccosB=0．（1）求C；（2）若c=

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b-2a）cosC+ccosB=0．（1）求C；（2）若c= 7 ，b=3a，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵（b-2a）cosC+ccosB=0， ∴由正弦定理得（sinB-2sinA）cosC+sinCcosB=0， sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，即sin（B+C）=2sinAcosC， ∴sinA=2sinAcosC， ∵sinA≠0，∴cosC= 1 2 ， 又∵C∈（0，π），∴C= π 3 ； （2）由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC， ∴ a 2 + b 2 -ab=7 b=3a 解得：a=1，b=3， ∴△ABC的面积S= 1 2 absinC= 1 2 ×1×3× 3 2 = 3 3 4 ．

Answer 2

（1）∵在△ABC中，ccosB+（2a+b）cosC=0，∴由正弦定理，可得sinCcosB+（2sinA+sinB）cosC=0，即sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，所以sin（B+C）+2sinAcosC=0，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，∴sinA+2sinAcosC=0，即sinA（1+2cosC）=0，可得cosC=-12．又∵C是三角形的内角，∴C=2π3；（2）根据余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC，∵c=3，cosC=-12，∴3=a2+b2-2ab×（-12），整理得a2+b2=3-ab，又∵a2+b2≥2ab，∴3-ab≥2ab，可得ab≤1，由此可得：△ABC的面积S=12absinC=34ab≤34×1=34，∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积的最大值为34．