Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（I）求证：AF∥平面

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（I）求证：AF∥平面BCE；（II）求二面角D﹣BC﹣E的正弦值．

Answer 1

证明：取CE的中点G，连FG、BG． ∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF= DE ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB． 又AB= DE，∴GF=AB． ∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG． ∴AF 平面BCE，BG 平面BCE， ∴AF∥平面BCE． （II）过E作EM⊥面BCD，垂足为M，过E作EN⊥BC， 则∠ENM为二面角D﹣BC﹣E的平面角 设AB=a，则AD=DE=2a， 所以BC=BD= a，AF=2a，CE=2 a 由（I）BG∥AF，∴BG⊥CD ∵BG⊥DE，CD∩DE=D， ∴BG⊥面CDE 由VB﹣CDE=VE﹣BCD， 可得EM= 在△BCE中， ， ∴EN= 设二面角D﹣BC﹣E的平面角θ， 则sinθ=