Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），对任意的x∈R，都有f（x-4）=f（2-x）成立，（1）求2a-b

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），对任意的x∈R，都有f（x-4）=f（2-x）成立，（1）求2a-b的值；（2）函数f（x）取得最小值0，且对任意x∈R，不等式x≤f（x）≤（x+12）2恒成立，求函数f（x）的解析式；（3）若方程f（x）=x没有实数根，判断方程f（f（x））=x根的情况，并说明理由．

Answer 1

（1）由f（x-4）=f（2-x）成立，可得函数y=f（x）图象的对称轴方程为x=-1，
∴-

b

2a

=-1，∴2a-b=0．       
（2）当x=-1 时，f（x）=a-b+c=0，
对于不等式x≤f（x）≤（

x+1

2

）² ，当x=1时，有1≤f（1）≤1，∴f（1）=a+b+c=1．
由以上方程解得 a=

1

4

=c，b=

1

2

，∴函铅猜败数的解析式为兆掘f(x)＝

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
（3）因为方程f（x）=x无实根，所以当a＞0时，不等式f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））＞f（x）＞x，故方程f（f（x））=x无实数解．
当a＜0时，不等式f（x）＜x恒成立，∴f（f（x））＜f（槐颤x）＜x，
故方程f（f（x））=x无实数解，
综上得：方程f（f（x））=x无实数解．