Question

如图，在正方形ABCD中，如果点P是直线CD上一动点（不与点C、点D重合），连接PA，分别过B、D作BE⊥PA，DF

如图，在正方形ABCD中，如果点P是直线CD上一动点（不与点C、点D重合），连接PA，分别过B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足为E、F．（1）问BE、DF、EF这三条线段之间有怎样的数量关系，请直接写出结论；（2）请证明你（1）中的结论正确．

Answer 1

（1）解：如图所示：
由已知得，△BAE≌△ADF，
所以，BE=AF，AE=DF，
∵EF=AF-AE
∴EF=BE-DF；
同理，P在CD的延长线和DC的延长线上时，以上结论仍然成立．






（2）证明：∵∠DAF+∠BAE=90°，BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠EBA=∠FAD，∠BAE=∠ADF．
∵ABCD为?，
∴BA=AD．
∵∠EBA=∠FAD，BA=AD，∠BAE=∠ADF，
∴由角边角定理可得：△BAE≌△ADF．
∴BE=AF，AE=DF．
∵EF=AF-AE，AF-AE=BE-DF，
∴EF=BE-DF．
由此可得第一问结论．