Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2------------------（3分）
∴b＝

a2?c2

=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1------------------（4分）
（Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2------------------（2分）
当直线l斜率不存在时，FM与FN比值为1，不符合题意，舍去；------------------（3分）
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），
直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0------------------（5分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

6k

3+4k2

 ①，y₁y₂=-

9k2

3+4k2

②------------------（7分）
由FM与FN比值为2得y₁=-y₂③
由①②③解得k=±

5

2

，
因此存在直线l：y=±

5

2

（x-1）使得△BFM与△BFN的面积比值为2------------------（9分）