Question

已知函数f（x）=-mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单

已知函数f（x）=-mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）A．（-∞，-2]B．（-∞，-1]C．[-2，-1]D．[-2，+∞）

Answer 1

∵f（x）=-mx³+nx²，
∴f′（x）=-3mx²+2nx，
∴f′（-1）=-3m-2n，
∵函数f（x）=-mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，
∴

?3m?2n＝?3 m+n＝2

，解得m=-1，n=3，
∴f′（x）=3x²+6x，令f′（x）=3x²+6x≤0，解得-2≤x≤0，
∴函数f（x）在[-2，0]上单调递减，
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
∴

t≥?2 t+1≤0

，解得-2≤t≤-1．
故选C．