Question

如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1

如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OA． ∵AB=AC，∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=30°． ∴∠AOB=2∠ACB=60°， ∴在△ABO中，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°，即AB⊥OA， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AB为⊙O的切线； （2）如图，连接AD． ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DAC=90°． ∵由（1）知，∠ACB=30°， ∴AD= 1 2 CD=4， 则根据勾股定理知AC= C D 2 -A D 2 =4 3 ，即弦AC的长是4 3 ； （3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4 3 ，则S △ADC = 1 2 AD?AC= 1 2 ×4×4 3 =8 3 ． ∵点O是△ADC斜边上的中点， ∴S △AOC = 1 2 S △ADC =4 3 ． 根据图示知，S 阴影 =S 扇形ADO +S △AOC = 60π× 4 2 360 +4 3 = 8π 3 +4 3 ，即图中阴影部分的面积是 8π 3 +4 3 ．