Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是 BC 的中点，PD切⊙O于点D．（1）求证：DP⊥AP；（2）

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是 BC 的中点，PD切⊙O于点D．（1）求证：DP⊥AP；（2）若PD=12，PC=8，求⊙O的半径R的长．





Answer 1

（1）证明：连接BC、OD，相交于点E； ∵点D是 BC 的中点， ∴OD⊥BC， ∴∠CED=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∵∠ACB=90°， ∵PD为⊙O的切线， ∴OD⊥PD， ∴∠PDE=90° ∴四边形PDEC为矩形， ∴DP⊥AP； （2）由（1）可知四边形PDEC为矩形， ∴PD=CE=12， ∴BC=2CE=24； ∵PD 2 =PC?PA， ∴PA= PD 2 PC = 12 2 8 =18， ∴AC=PA-PC=18-8=10； ∵AB 2 =AC 2 +BC 2 =10 2 +24 2 =676， ∴AB=26， ∴⊙O的半径R=13．