Question

已知函数f（x）=x 2 -alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）

已知函数f（x）=x 2 -alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x 2 -2lnx， 当x∈（1，+∞）时， f′(x)= 2( x 2 -1) x ＞0 ， 所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．          （5分） （Ⅱ） f′(x)= 2 x 2 -a x (x＞0) ， 当x∈[1，e]，2x 2 -a∈[2-a，2e 2 -a]． 若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0， 所以f（x）在[1，e]上是增函数， 又f（1）=1，故函数f（x）在[1，e]上的最小值为1． 若a≥2e 2 ，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0， 所以f（x）在[1，e]上是减函数， 又f（e）=e 2 -a，所以f（x）在[1，e]上的最小值为e 2 -a． 若2＜a＜2e 2 ，则当 1≤x＜ a 2 时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数； 当 a 2 ＜x≤e 时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数． 又 f( a 2 )= a 2 - a 2 ln a 2 ， 所以f（x）在[1，e]上的最小值为 a 2 - a 2 ln a 2 ． 综上可知，当a≤2时，f（x）在[1，e]上的最小值为1； 当2＜a＜2e 2 时，f（x）在[1，e]上的最小值为 a 2 - a 2 ln a 2 ； 当a≥2e 2 时，f（x）在[1，e]上的最小值为e 2 -a．（13分）