Question

已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件

已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0（1）若此方程有实根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；（3）若A、B是平面直角坐标系中x轴上的两个点，点B在点A的左侧，且点A、B的横坐l标分别是（2）中方程的两个根，以线段AB为直径在x轴的上方作半圆P，设直线的解析l式为y=x+b，若直线与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．

Answer 1

（1）∵关于x的一元二次方程，m≠0，
∵关于x的一元二次方程有实根，
∴△=（2m+2）²-4m（m-1）=12m+4≥0，
解得m≥?

1

3

，
∴当m≥?

1

3

且 m≠0时此方程有实根；

（2）
∵在（1）的条件下，当m取最小的整数
∴m=1，
∴原方程化为：x²-4x=0，
x（x-4）=0，
解得：x₁=0，x₂=4；

（3）解：如图所示：①当直线l经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0，
②当直线l与半圆P相切于D点时有一个交点，
∵y=x+b，当b=0则y=x，故可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，
∵DP=2，∴EP=

22+22

=2

2

．
∴OC=2

2

?2，即b=2

2

?2，
∴当0≤b＜2

2

?2时，直线l与半圆P只有两个交点．