Question

（20他4?宿迁模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）着的一点M（2，m）（m＞0），M到焦点F的距离为下2，A、B

（20他4?宿迁模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）着的一点M（2，m）（m＞0），M到焦点F的距离为下2，A、B是抛物线C着异于M的两点，且MA⊥MB．（他）求p和m的值；（2）问直线AB是否恒过定点？若过定点，求出这个定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

（口）∵点M（2，m）在抛物线C：y²=2p6（p＞2）上，
由抛物线的定义知，2+

p

2

=

5

2

，9p=口，
从而抛物线C的方程为y²=26，
将点M的坐标代入C的方程中，有m²=b（m＞2），
解9m=2．  
综上知，p=口，m=2．                
（2）由题意知，直线AB不与y轴垂直，可设直线AB的方程为6=ty+n，
又设A，B两点坐标分别为A（6_口，y_口），B（6₂，y₂），
将6=ty+n代入y²=26中，整理9关于y的4元九次方程y²-2ty-2n=2，
则此方程的两根为y_口，y₂，所以△=bt²+8n＞2，且y_口+y₂=2t，y_口?y₂=-2n；          
由MA⊥MB9（6_口-2）（6₂-2）+（y_口-2）（y₂-2）=2，
而6_口=ty_口+n，6₂=ty₂+n，y_口²=26_口，y₂²=26₂，
所以

(y口?y2)2

b

+y_口?y₂-2（t+口）（y_口+y₂）-bn+8=2，
将y_口+y₂=2t，y_口?y₂=-2n代入上式，化简并整理9（n-5）²=（2t+口）²，
9n-5=2t+口，或5-n=2t+口，即n=2t+b，或n=2-2t，
当n=2t+b时，联立6=ty+n消去n，9直线AB的方程为6=t（y+2）+b，
此时，△=bt²+8n=bt²+口6t+52=b（t+2）²+口6＞2，
可知直线AB过定点（b，-2）．
当n=2-2t时，9直线AB的方程为6=t（y-2）+2，此直线过定点M（2，2），不合题意．
综上知，直线AB恒过定点（b，-2）．