已知函数f（x）=2x2+bx+cx2+1（b＜0）的值域是[1，3]．（1）求b，c；（2）判断函数F（x）=lgf（x）在[-1
已知函数f（x）=2x2+bx+cx2+1（b＜0）的值域是[1，3]．（1）求b，c；（2）判断函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性，并予以证明．...
已知函数f（x）=2x2+bx+cx2+1（b＜0）的值域是[1，3]．（1）求b，c；（2）判断函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性，并予以证明．
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（1）∵函数f(x)＝
，(b＜0)的定义域为R
令y＝
，则y∈[1，3]
则（2-y）x2+bx+（c-y）=0一定有实根
即b2-4（c-y）（2-y）≥0
即4y2-（8+4c）y+8c-b2≤0
又∵[1，3]
∴1+3=
，1×3=
解得b=-2，c=2
（2）由（1）得f(x)＝
∴F（x）=lgf（x）=lg
任取区间[-1，1]上两个数x1，x2且x1＜x2
则F（x1）-F（x2）=lg
-lg
∵
＝2+
，
＝2+
，
又外层函数是增函数，故比较
与
| 2x2+bx+c |
| x2+1 |
令y＝
| 2x2+bx+c |
| x2+1 |
则（2-y）x2+bx+（c-y）=0一定有实根
即b2-4（c-y）（2-y）≥0
即4y2-（8+4c）y+8c-b2≤0
又∵[1，3]
∴1+3=
| 8+4c |
| 4 |
| 8c?b2 |
| 4 |
解得b=-2，c=2
（2）由（1）得f(x)＝
| 2x2?2x+2 |
| x2+1 |
∴F（x）=lgf（x）=lg
| 2x2?2x+2 |
| x2+1 |
任取区间[-1，1]上两个数x1，x2且x1＜x2
则F（x1）-F（x2）=lg
| 2x12?2x1+2 |
| x12+1 |
| 2x22?2x2+2 |
| x22+1 |
∵
| 2x1 2?2x1+2 |
| x1 2+1 |
| ?2x1 |
| x1 2+1 |
| 2x2 2?2x2+2 |
| x2 2+1 |
| ?2x2 |
| x2 2+1 |
又外层函数是增函数，故比较
| ?2x2 |
| x2 2+1 |
