Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，D点从BC的中点到C点运动，点E在AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，D点从BC的中点到C点运动，点E在AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径R的取值范围为（　　）A．67≤R≤127B．67≤R≤43C．56≤R≤2D．1≤R≤32

Answer 1

当点E在AD上，AD为△ABC的中线，如图1，作EH⊥BC于H，EF⊥AB于F，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，
∴EH=EF=R，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2?AC2

=4，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD=2，
在Rt△ADC中，AD=

AC2+CD2

=

13

，
∵EH∥AC，
∴△DEH∽△DAC，
∴

DE

DA

=

EH

AC

=

DH

DC

，即

DE

13

=

R

3

=

DH

2

，
∴DE=

13

3

R，DH=

2

3

R，
∴AE=AD-DE=

13

-

13

3

R，BH=BD+DH=2+

2

3

R，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，
∴BF=BH=2+

2

3

R
∴AF=AB-BF=3-

2

3

R，
在Rt△AEF中，∵EF²+AF²=AE²，
∴R²+（3-

2

3

R）²=（

13

-

13

3

R）²，解得R=

6

7

；
当点D运动到点C的位置，如图2，作EF⊥AB于F，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，
∴EC=EF=R，
∴AE=AC-EC=3-R，
∵∠FAE=∠CAB，
∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴

EF

BC

=

AE

AB

，即

R

4

=

3?R

5

，解得R=

4

3

，
∴当D点从BC的中点到C点运动，点E在AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径R的取值范围为

6

7

≤R≤

4

3

．
故选B．