已知函数f（x）=ln（ax）-x?ax（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数
已知函数f（x）=ln（ax）-x?ax（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+12+13+…+1n≥lnenn!（e为自然...
已知函数f（x）=ln（ax）-x?ax（a≠0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1+12+13+…+1n≥lnenn!（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．
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（Ⅰ）解：由题意f′（x）=
．
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（5分）
（Ⅱ）证明：取a=1，由（1）知f（x）=lnx-
≥f（1）=0，
故
≥1-lnx=ln
，
取x=1，2，3，…，
则1+
+
+…+
≥ln
（e为自然对数的底数）；（8分）
（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0-
），
切线方程：y+1=
（x-1），将点T坐标代入得：lnx0-
=
，即lnx0+
-
-1=0，①
设g（x）=lnx+
-
-1，则g′（x）=
．（10分）
∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+
＞0．
又g（
| x?a |
| x2 |
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（5分）
（Ⅱ）证明：取a=1，由（1）知f（x）=lnx-
| x?1 |
| x |
故
| 1 |
| x |
| e |
| x |
取x=1，2，3，…，
则1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| en |
| n! |
（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0-
| x0?1 |
| x0 |
切线方程：y+1=
| x0?1 |
| x02 |
| x0?1 |
| x0 |
| x0?1 |
| x02 |
| 3 |
| x0 |
| 2 |
| x02 |
设g（x）=lnx+
| 3 |
| x |
| 2 |
| x2 |
| (x?1)(x?2) |
| x3 |
∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+
| 1 |
| 4 |
又g（
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