Question

已知，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，球面被正方体的侧面BCC1B1，ABB1

已知，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，球面被正方体的侧面BCC1B1，ABB1A1截得的两段弧分别为GF，FE（如图所示），则这两段弧的长度之和等于______．

Answer 1

如图，球面与正方体的六个面都相交，
所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA₁=

3

，
则∠A₁AE=

π

6

．同理∠BAF=

π

6

，所以∠EAF=

π

6

，
故弧EF的长为：2×

π

6

=

π

3

，
而这样的弧共有三条．
在面BB₁C₁C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=

π

2

，
所以弧FG的长为：1×

π

2

=

π

2

．
于是，所得的曲线长为：

π

3

+

π

2

=

5

6

π．
故答案为：

5

6

π．