如图，在直四棱ABCD-A1B1C1D1中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60
如图，在直四棱ABCD-A1B1C1D1中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AA1=23，P、Q分别是棱A1D1和AD的...
如图，在直四棱ABCD-A1B1C1D1中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AA1=23，P、Q分别是棱A1D1和AD的中点，R为PB的中点．（Ⅰ）求证：QR⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角R-QC-B的余弦值．
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解答：（Ⅰ）证明：以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得Q（0，0，0），P（0，0，2
），
B（0，2
，0），R（0，
，
），
C（-4，2
，0），
=（0，
，
），
=（0，2
，-2
），
=（-4，2
，-2
），
∴
?
=0，
?
＝0，
∴QR⊥PB，QR⊥PC，又PB∩PC=P，
∴QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：
=（0，
，
），
=（-4，2
建立空间直角坐标系，
由题意得Q（0，0，0），P（0，0，2
| 3 |
B（0，2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
C（-4，2
| 3 |
| QR |
| 3 |
| 3 |
| PB |
| 3 |
| 3 |
| PC |
| 3 |
| 3 |
∴
| QR |
| PB |
| QR |
| PC |
∴QR⊥PB，QR⊥PC，又PB∩PC=P，
∴QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：
| QR |
| 3 |
| 3 |
| QC |
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