Question

已知函数f(x)=x三次方+ax二次方+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间.(2)若

已知函数f(x)=x三次方+ax二次方+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间.(2)若对x属于[-1,2],不等式f(x)<c二次方恒成立,求c的取值范围

Answer 1

解：
（1）对f(x)求导，f'(x)=3x2+2ax+b
因为函数在x=-1与x=2处都取得极值
所以f'(-1)=3-2a+b=0；f'(2)=12+4a+b=0
所以a=-3/2，b=-6
所以f(x)=x3-3/2x2-6x+c
因为f(-1)=7/2+c；f(2)=-10+c
所以f(x)在x=-1取得极大值，在x=2取得极小值
所以f(x)在(-∞,-1)递增；在(-1,2)递减；在(2，+∞)递增
（2）因为f(-2)=-2+c；f(3)=-9/2+c
所以在x∈[-2,3],f(x)max=f(-1)=7/2+c
因为对x∈[-2,3],不等式f(x)+(3/2)c＜c2恒成立
所以7/2+c+(3/2)c＜c2
所以-1<c<7/2