Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D． （1）

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=-x 2 -2x+3，（-1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由见解析；（3）存在，p 1 （0，0）、p 2 （0， ）、p 3 （-9，0）．

试题分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断； （3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c 由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+3． 把点A（1，0）、点B（-3，0）代入，得 解得a=-1，b=-2 ∴抛物线的解析式为y=-x 2 -2x+3． ∵y=-x 2 -2x+3=-（x+1） 2 +4 ∴顶点D的坐标为（-1，4）； （2）△BCD是直角三角形．理由如下： 解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F． ∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3， ∴BC 2 =OB 2 +OC 2 =18 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， ∴CD 2 =DF 2 +CF 2 =2 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， ∴BD 2 =DE 2 +BE 2 =20 ∴BC 2 +CD 2 =BD 2 ∴△BCD为直角三角形． 解法二：过点D作DF⊥y轴于点F． 在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3 ∴OB=OC∴∠OCB=45° ∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1 ∴DF=CF ∴∠DCF=45° ∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90° ∴△BCD为直角三角形． （3）①△BCD的三边， ，又 ，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC； ②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a， ，即 ，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立； ③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则 ，即 ，解得：b= ，故P是（0， ）时，则△ACP∽△CBD一定成立； ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）． 则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时， ，即 ，解得：d=1﹣3 ，此时，两个三角形不相似； ⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）． 则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时， ，即 ，解得：e=﹣9，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为：p 1 （0，0）、p 2 （0， ）、p 3 （-9，0）． 考点: 二次函数综合题．