Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：AC=

如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：AC=AD；（2）点G为线段CD延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转β，与射线BD交于点E．①若β=α，GD=2AD，如图2所示，求证：S△DEG=2S△BCD；②若β=2α，GD=kAD，请直接写出S△DEGS△BCD的值（用含k的代数式表示）．

Answer 1

（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AB=AD．
∵AB=AC，
∴AC=AD．

（2）①证明：过A作AH⊥BC于点H．
由题意可得：∠AHB=90°．
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α．
∴∠BAC=180°-2α．
由（1）得AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC=

1

2

∠BAC．
∴∠GDE=∠BDC=90°-α，
∵∠G=β=α=∠ABC，
∴∠G+∠GDE=90°．
∴∠DEG=∠AHB=90°．
∴△DEG∽△AHB．
∵GD=2AD，AB=AD，
∴

S△DEG

S△ABH

=

DG2

AB2

=4．
∵AD∥BC，
∴S_△BCD=S_△ABC=2S_△ABH．
∴S_△DEG=2S_△BCD；

②如图3，

S△DEG

S△BCD

=k²．
理由：过A作AH⊥BC于点H，作∠DGE的平分线GF，
由①得，∠DGF+∠GDE=90°，
故∠AHB=∠DFG=90°．
∵∠ABC=∠DGF=α，
∴∠ACB=∠ABC=α．
∴△DFG∽△AHB，
∴△ABC∽△GDE，
∵GD=kAD，AB=AD，S_△ABC=S_△BCD，
∴

S△DEG

S△BCD

=

DG2

AD2

=k²．