Question

已知圆C：x 2 +y 2 -2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若

已知圆C：x 2 +y 2 -2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：假设存在直线 ，设其方程为y=x+b， 解方程组 ， 得2x 2 +(2b+2)x+b 2 +4b-4=0，                                        ① 设A (x 1 ，y 1 )， B (x 2 ，y 2 )， 则x 1 +x 2 =-b-1，x 1 x 2 = ， ∴y 1 y 2 =(x 1 +b)(x 2 +b)=x 1 x 2 +b(x 1 +x 2 )+b 2 = +b(-b-1)+b 2 = ， 又OA⊥OB， ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0， ∴ ， 解得b=1或b=-4， 把b=1和b=-4分别代入①式，验证判别式均大于0， 故存在b=1或b=-4， 所以存在满足条件的直线方程x-y+1=0 或x-y-4=0。