Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)＝2ax+1x2（x∈R）．（1）当x

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)＝2ax+1x2（x∈R）．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论

Answer 1

（1）解：设x∈（0，1]，则?x∈[?1，0)，?f(?x)＝?2ax+

1

x2

∵f（x）是奇函数，即f（-x）=-f（x）
∴f(x)＝2ax?

1

x2

，?x∈(0，1]
（2）答：f（x）在（0，1]上单调递增．
证明：∵f′(x)＝2a+

2

x3

＝2(a+

1

x3

)，?x∈(0，1]
∴

1

x3

＞1
又∵a＞-1
∴a+

1

x3

＞0
即f′(x)＝2(a+

1

x3

)＞0
∴f（x）在（0，1]上单调递增．