Question

（2012?张家港市模拟）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=

（2012?张家港市模拟）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=8，tanB=12，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵OD⊥AC于点E，
∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴∠D+∠2=90°，∠OAD=90°．
∴OA⊥AD于点A．
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴AE＝EC＝

AC

2

＝4
∵∠B=∠C，tanB=

1

2

，
∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC=

1

2

．
∴EF=EC?tanC=2．
设⊙O的半径为r，则OE=r-2．
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA²=OE²+AE²，即r²=（r-2）²+4²．
解得r=5．
∴在Rt△OAE中，tan∠2＝

AE

OE

＝

4

3

．
∴在Rt△OAD中，AD＝OA?tan∠2＝5×

4

3

＝

20

3

．

Answer 2

（1）证明：∵OD⊥AC于点E，
∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴∠D+∠2=90°，∠OAD=90°．
∴OA⊥AD于点A．
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴AE＝EC＝

AC

2

＝4
∵∠B=∠C，tanB=

1

2

，
∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC=

1

2

．
∴EF=EC?tanC=2．
设⊙O的半径为r，则OE=r-2．
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA²=OE²+AE²，即r²=（r-2）²+4²．
解得r=5．
∴在Rt△OAE中，tan∠2＝

AE

OE

＝

4

3

．
∴在Rt△OAD中，AD＝OA?tan∠2＝5×

4

3

＝

20

3

．