Question

在△ABC中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB=12c．（I）求证：tanB=3tanA；（Ⅱ）若cosC＝5

在△ABC中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB=12c．（I）求证：tanB=3tanA；（Ⅱ）若cosC＝55，求角A的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵bcosA-acosB=

1

2

c，
∴由正弦定理得：sinBcosA-sinAcosB=

1

2

sinC，…1
∴sinBcosA-sinAcosB=

1

2

sin（A+B）…3
∴2sinBcosA-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，…4
∴sinBcosA=3sinAcosB，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴cosA＞0，cosB＞0，…5
∴tanB=3tanA；…6
（Ⅱ）∵cosC=

5

5

，
∴0＜C＜

π

2

，sinC=

2 5

5

，tanC=2，…7
∴tanC=tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，…8
∴

tanA+tanB

1?tanAtanB

=-2，…9
∵tanB=3tanA，
∴

4tanA

1?3tan2A

=-2，…10
∴tanA=1或tanA=-

1

3

，…11
∵cosA＞0，
∴tanA=1，A=

π

4

．