Question

如图所示的“s”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由

如图所示的“s”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨网道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动．弹射装置将一个小球（小球的直径略小于细圆管内径）从a点沿水平地面向b点运动并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出．已知小球与地面ab段间的动摩擦因数为μ，ab段长L，圆的半径R，小球质量m，求：（1）若小球经d处时，对轨道上臂有压力，则它经过b处时的速度满足什么条件？（2）若μ=0.2、L=1m、R=0.2m、m=0.1kg，g取10m/s2，小球从a点出发的速度为4m/s，则它经c点前、后的瞬间，小球对轨道的压力各为多大？

Answer 1

（1）小球经d点时，由牛顿第二定律得：Fd+mg＝m

v 2 d

R

，
解得：F_d＞0，即：vd＞

gR

，
小球从b到d，由机械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 d

+4mgR＝

1

2

m

v

2 b

，
解得：vb＞3

gR

；
（2）小球从a到c，由动能定律得：
?μmgL?2mgR＝

1

2

m

v

2 c

?

1

2

m

v

2 a

，
代入数据解得：v_c=2m/s；
由牛顿第二定律，小球在c点前：F1+mg＝m

v 2 c

R

代入数据解得：F₁=1N，方向竖直向下，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为1N，方向竖直向上，
小球在c点后：F2?mg＝m

v 2 c

R

，
代入数据解得：F₂=3N，方向竖直向上，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为3N，方向竖直向下，
答：（1）若小球经d处时，对轨道上臂有压力，它经过b处时的速度满足的条件是：vb＞3

gR

；
（2）小球它经c点前瞬间对轨道的压力为1N，方向竖直向上，小球它经c点后瞬间对轨道的压力为3N，方向竖直向下．