Question

（2014?福建模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点

（2014?福建模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且面DA1 C⊥面AA1C1C．（1）求证：D为棱BB1中点；（2）AA1AB为何值时，二面角A-A1D-C的平面角为60°．

Answer 1

解答：（1）证明：过点D作DE⊥A₁C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．

∵面DA₁C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁C，面DA₁C内的直线DE⊥A₁C，
∴DE⊥面AA₁C₁C．
又∵面BAC⊥面AA₁C₁C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，∴BF⊥AC，
∴BF⊥面AA₁C₁C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，
又BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA₁，又点F是AC的中点，
所以DB=EF=

1

2

AA1＝

1

2

BB1
所以D为棱BB₁中点；
（2）解：延长A₁D与直线AB相交于G，则CB⊥面AA₁B₁B
过B作BH⊥A₁G于点H，由三垂线定理知，A₁G⊥CH
由此可知∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角
设AA1=2b，AB=BC=a，则在直角△A₁AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH=

BD?BG

DG

=

b?a

a2+b2

；
在直角△CHB中，tan∠CHB=

BC

BH

=

a2+b2

b

，
∵二面角A-A₁D-C的平面角为60°，
∴

a2+b2

b

=tan60°=

3

∴

2b

a

＝

2

∴

AA1

AB

=

2

．