Question

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5）时， f(x)＜ 9x x+1 成立．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为（-1，+∞） 求导函数可得f′（x）= 1 x+1 +a 当a≥0时， 1 x+1 +a＞0 ，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）； 当a＜0时， 1 x+1 +a＞0 ，函数在（-1，-1- 1 a ）内单调递增，单调增区间为（-1，-1- 1 a ） 1 x+1 +a＜0 ，函数在（-1- 1 a ，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1- 1 a ，+∞）； （Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x， f(x)＜ 9x x+1 等价于ln（x+1）+ x 2 -8x x+1 ＜0 令g（x）=ln（x+1）+ x 2 -8x x+1 ，则g′（x）= x 2 +3x-7 (x+1) 2 ∵x∈（0，5），∴函数在（0， -3+ 37 2 ）上单调递增，在（ -3+ 37 2 ，5）上单调递减 ∴g（x） max =ln（ -3+ 37 2 +1）+ ( -3+ 37 2 ) 2 -8? -3+ 37 2 -3+ 37 2 +1 ＜0 ∴x∈（0，5）时， f(x)＜ 9x x+1 成立．