Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上．（Ⅰ）求这个长方形零件PQMN面积S的最大值；（Ⅱ）在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料△APN，△BPQ，△NMC剪 下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形PQMN大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由．

Answer 1

（1）设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80-x． ∵PN ∥ BC， ∴△APN ∽ △ABC． ∴ PN BC = AE AD ． 因此， a 120 = 80-x 80 ．（1分） 解得a=120- 3 2 x．（2分） 所以长方形PQMN的面积S=xa=x（120- 3 2 x）=- 3 2 x 2 +120x．（3分） 当x=- 120 2×(- 3 2 ) =40时，a=60．（4分） S 最大值 =40×60=2400（mm 2 ）． 所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm 2 ．（5分） （2）∵S △ABC -2S 最大值 = 1 2 ×120×80-2×2400=0， ∴从理论上说，恰能拼成一个与长方形PQMN大小一样的长方形． 拼法：作△ABC的中位线PN，分别过P，N作BC的 垂线，垂足分别为Q，M，过A作BC的平行线，交QP，MN的延长线于G，H，易知△PBQ≌△PAG，△NMC≌△NHA， 所以将△PBQ，△NMC剪下拼接到△PAG，△NHA的位置， 即得四边形PNHG，此四边形即为长方形零件PQMN面积最大时大小一样的长方形． （注：拼法描述正确得（2分），画图正确得（1分）．）